6.5 Ejemplos derivadas

1. Derivada por el metodo de limites:

 2. Derivada por el metodo de potencia:

 3. Derivada por el metodo de producto:

4. Derivada por el metodo de raíz:

5. Derivada por el metodo de cociente:

6. Derivada por el metodo de cadena:

6.4 Derivadas

Derivadas

Definición:

Es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independientemente; es decir, se calcula como el limite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez mas pequeño, por ello se habla de una derivada de una cierta función en un ponto dado.

Historia:

Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz).
En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen:
El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge)
El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat)
En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial.

Matemáticos y físicos:

- Isaac Newton: (25 de diciembre de 1642 julio 20 de marzo de 1727 junio) fue un físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica, más conocidos como los Principia, donde describió la ley de la gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Newton comparte con Leibniz el crédito por el desarrollo del cálculo integral y diferencial, que utilizó para formular sus leyes de la física. También contribuyó en otras áreas de la matemática, desarrollando el teorema del binomio y las fórmulas de Newton-Cotes.

- Gottfried Leibniz: (Leipzig, 1 de julio de 1646 - Hannover, 14 de noviembre de 1716) fue un filósofo, matemático, jurista, bibliotecario y político alemán.Ocupa un lugar igualmente importante tanto en la historia de la filosofía como en la de las matemáticas. Inventó el cálculo infinitesimal, independientemente de Newton, y su notación es la que se emplea desde entonces.

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6.3 Evaluación sobre Limites

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6.2 Ejemplos de limites

6.2.1. Diferencia de Cuadrados:

Archivo de limites

6.1 Limites

6.1.1. Definición de limites

Es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático, un caso de límite aplicado a las funciones.Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, independientemente de lo que ocurra en c.

6.1.2. Historia de limite:

En el desarrollo de calculo entre los siglos XVII y XVIII la funcion moderna se remonta a Bolzano quien en 1817 introdujo la tecnica epsilon-delta. Suidea no fue conocida pero Cauchy si supo explicar su idea en 1821pero no de una manera sistematica. Weierstrass en 1850 y 1860 lo combirtio en el metodo estandar para trabajar los limites. La abrebiatura de Lim con una flecha abajo es gracias a Hardy en 1908. 6.1.3 Cuales matemáticos fueron los primeros que hablaron sobre los Limites: 1. Bernard Bolzano: La notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano en 1817 ademas que introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.((actual República Checa), 5 de octubre de 1781 – 18 de diciembre de 1848).

 2. Augustin Louis Cauchy: (París, 21 de agosto de 1789 - 23 de mayo de 1857). expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática.

3. Karl Weierstrass: (Alemania, 31 de octubre de 1815 - 19 de febrero de 1897). La primera presentación técnica hecha ante el publico fue por Weierstrass en los 1850 y 1860, y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.

4. Godfrey Harold Hardy: (1877-1947) fue un matemático británico. La notación de escritura usando la abreviatura Lim con la flecha debajo es debida a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.

5.4 Teoremas del Seno y Coseno

Teorema del seno

Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces:

5.3 Relaciones Trigonométricas

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).

Notación: 

se define cos²α, sen²α, otros; tales que sen²α es (sen α)².

5.2 teorema de pitágoras

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b, y la medida de la hipotenusa es c, se establece que:
c² = a² + b²

Situación Problema :
Una bandera es doblada Triangularmente para ser guardada en un estuche. Si dos de sus lados miden 5,61cm ¿cuanto mide su Hipotenusa (C) ? 

•  C = ? 

Solución:

c² = a² + b²

c² = 5,61²cm + 5,61²cm

c² = 31,47 cm + 31,47 cm

c² = 62,94 cm

c  = √ 62,94 cm

c  = 7,93 cm 

5.1 Historia de la Trigonometría

Historia de la trigonometría

La historia de la trigonometría y de las funciones trigonométricas podría extenderse por más de 4000 años. Los babilonios determinaron aproximaciones de medidas de ángulos o de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos. Varias tablas grabadas sobre arcilla seca lo testimonian. Así, por ejemplo, una tablilla babilonia escrita en cuneiforme, denominada Plimpton 322 (en torno al 1900 a. C.) muestra quince ternas pitagóricas y una columna de números que puede ser interpretada como una tabla de funciones trigonométricas; sin embargo, existen varios debates sobre si, en realidad, se trata de una tabla trigonométrica.

4.8 Triángulo Obtusángulo

Triangulo Obtusángulo

Un triángulo que tiene un ángulo mayor de 90°

4.7 Triángulo Acutángulo

Triangulo Acutángulo

Un triángulo que tiene todos sus ángulos menores a 90° (90° se llama ángulo recto)

4.6 Triángulo Rectángulo

Triangulo Rectángulo

En geometría, se llama triángulo rectángulo a todo triángulo que posee un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90-grados. Las relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo es la base de la trigonometría. En particular, en un triángulo rectángulo se cumple el teorema de Pitágoras.

4.4 Triángulo Isósceles

Triangulo Isósceles

Un triángulo con dos lados iguales.

Los ángulos opuestos a los lados iguales también son iguales.

4.5 Triángulo Escaleno

Triangulo escaleno

Un triángulo con todos los lados de diferentes longitudes.

Ningún lado es igual a otro ni ningún ángulo es igual a otro.

4.3 Triángulo Equilátero

Triangulo Equilátero

En geometría, un triángulo equilátero, es un triángulo con tres lados iguales. En la geometría euclídea tradicional, los triángulos equiláteros también son equiangulares, es decir, los tres ángulos internos también son congruentes entre sí, cada ángulo vale 60°. Un triángulo equilátero es un polígono regular; es un caso especial de triángulo isósceles.

4.2 Teoremas de Pitágoras

Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras establece que en un Triangulo rectángulo, el cuadrado de la Hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los Catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b, y la medida de la hipotenusa es c, se establece que:

   c²= a² + b² 

De la ecuaciónse deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:

Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas

4.1 Definición de triángulo

Triangulo

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.

Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices.

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

3.3 Nombres de Algunos Polígonos

Clases de polígonos.

      Los polígonos se clasifican según tres criterios:

•  Por la igualdad o desigualdad de lados:

Polígonos regulares — cuando todos los lados son de igual extensión;

Polígonos irregulares — cuando por lo menos alguno de los lados es de extensión distinta.

• Por la cantidad de lados, aunque por referencia a la igual cantidad de ángulos:

Triángulos — los que tienen 3 lados y 3 ángulos.

Cuadriláteros — los que tienen 4 lados y 4 ángulos.

Pentágonos (del griego: penta: cinco) — los que tienen 5 lados y 5 ángulos.

Hexágonos (del griego: exa: seis) — los que tienen 6 lados y 6 ángulos.

Heptágonos (del griego: hepta: siete) — los que tienen 7 lados y 7 ángulos.

Octógonos — los que tienen 8 lados y 8 ángulos.

Encágonos — los que tienen 9 lados y 9 ángulos.

Decágonos — los que tienen 10 lados y 10 ángulos.

Undecágonos — los que tienen 11 lados y 11 ángulos.

Dodecágonos — los que tienen 12 lados y 12 ángulos.

Con más de 12 lados, se denominan indicando el número de lados.

• Por la existencia de una o más líneas que los dividan en mitades iguales:

Polígonos simétricos — los que tienen uno o más ejes de simetría

Polígonos asimétricos — los que no tienen ningún eje de simetría.

3.2 Tipos de Polígonos

Clases de polígonos

Un polígono es una figura plana compuesta por lo menos de 3 segmentos rectos consecutivos no alineados. 

Triangulo

Rectángulo

Pentágono

Hexágono

Heptágono 

Octágono 

Figura de un poligono

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3.1 Definición de Polígono

Polígono

En geometría, un polígono es una figura plana que está limitada por una curva cerrada, compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman vértices. El interior del polígono es llamado a veces su cuerpo.

2.4 Recta Paralela y Recta Perpendicular

Recta paralela

Dos rectas son paralelas si tienen el mismo vector director o la misma pendiente.

Rectas Perpendiculares

Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo. Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares.

2.3 Mediatriz y Bisectriz

Mediatriz:

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. Equivalentemente se puede definir como la recta cuyos puntos son equidistantes a los extremos del segmento. También se la llama simetral. Lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de un segmento AB.

Bisectriz

La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de las semirrectas de un ángulo.